Элементарная математика. Геометрия.

Задача 197

Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно $k$. Найдите угол при основании треугольника.

Решение:

Введём следующие обозначения: радиус описанной около треугольника окружности — $R$, радиус вписанной в треугольник окружности — $r$, боковая сторона равнобедренного треугольника — $a$, угол при основании равнобедренного треугольника — $\alpha$, полупериметр треугольника — $p$, площадь треугольника — $S$.
Воспользуемся известными формулами: $R=\frac{a}{2\sin\alpha}$ и $r=\frac{S}{p}$. Распишем $S$ и $p$ для равнобедренного треугольника. Для этого проведём высоту $h$ к основанию $c$ равнобедренного треугольника. Высота делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из них. У него гипотенуза $a$ и острый угол $\alpha$, тогда катеты по определениям синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: $h=a\sin\alpha$ и $a\cos\alpha=\frac{1}{2}c$. Площадь равнобедренного треугольника $S=\frac{1}{2}ch=a^2\cos{\alpha }\sin{\alpha}$. Полупериметр равнобедренного треугольника $p=\frac{a+a+c}{2}=a(1+\cos{\alpha})$. Таким образом, для отношения $k$ получим следующую формулу: $k=\frac{r}{R}=\frac{S}{Rp}=\frac{2a^2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{a^2(1+\cos{\alpha})}=\frac{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}$.
Проведём следующие тригонометрические преобразования: $\frac{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=\frac{2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=\frac{2(1-\cos{\alpha})(1+\cos{\alpha})\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=2\cos{\alpha}(1-\cos{\alpha})$. Итак, получаем, что $k=2\cos{\alpha}(1-\cos{\alpha})=2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}$.
Найдём корни получившегося квадратного уравнения: $2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}=k$; $2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}-k=0$; $2\cos^2{\alpha}-\cos{\alpha}+k=0$, дискриминант — $D=4-8 k$, $\cos{\alpha}_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}$. Таким образом, $\alpha=\arccos(\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2})$.

Ответ:

$\alpha=\arccos(\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2})$