Задача 197

Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника.

Решение:

Введём следующие обозначения: радиус описанной около треугольника окружности — R, радиус вписанной в треугольник окружности — r, боковая сторона равнобедренного треугольника — a, угол при основании равнобедренного треугольника — \alpha, полупериметр треугольника — p, площадь треугольника — S.
Воспользуемся известными формулами: R=\frac{a}{2\sin\alpha} и r=\frac{S}{p}. Распишем S и p для равнобедренного треугольника. Для этого проведём высоту h к основанию c равнобедренного треугольника. Высота делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из них. У него гипотенуза a и острый угол \alpha, тогда катеты по определениям синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: h=a\sin\alpha и a\cos\alpha=\frac{1}{2}c. Площадь равнобедренного треугольника S=\frac{1}{2}ch=a^2\cos{\alpha }\sin{\alpha}. Полупериметр равнобедренного треугольника p=\frac{a+a+c}{2}=a(1+\cos{\alpha}). Таким образом, для отношения k получим следующую формулу: k=\frac{r}{R}=\frac{S}{Rp}=\frac{2a^2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{a^2(1+\cos{\alpha})}=\frac{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}.
Проведём следующие тригонометрические преобразования: \frac{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=\frac{2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=\frac{2(1-\cos{\alpha})(1+\cos{\alpha})\cos{\alpha}}{(1+\cos{\alpha})}=2\cos{\alpha}(1-\cos{\alpha}). Итак, получаем, что k=2\cos{\alpha}(1-\cos{\alpha})=2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}.
Найдём корни получившегося квадратного уравнения: 2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}=k; 2\cos{\alpha}-2\cos^2{\alpha}-k=0; 2\cos^2{\alpha}-\cos{\alpha}+k=0, дискриминант — D=4-8 k, \cos{\alpha}_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}. Таким образом, \alpha=\arccos(\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}).

Ответ:

\alpha=\arccos(\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2})
最后修改: 2017年02月22日 星期三 14:21