Элементарная математика. Геометрия.

Задача 198

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

Решение:
Необходимо отметить, что построить с первого раза более-менее приемлемый чертеж мало кому удается. Поэтому мы даем возможность на рисунке каждому найти эту точку, изменяя конфигурацию треугольника.

Так как по условию $\triangle ABC$ — равнобедренный, то $AB=BC, \angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Пусть $O$ — центр вписанной в треугольник окружности, $D$ — точка пересечения высот, а точки $G$ , $F$ и $E$ — основания высот треугольника, как показано на рисунке.
Известно, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, следовательно $\angle OAE=\frac{\alpha}{2}$. Тогда $OE=AE \,\text{tg} \frac{\alpha}{2}$. В треугольнике $AFC$ очевидно $\angle FAC = 90^o - \alpha$. Значит, $DE=AE \,\text{tg}(90^o - \alpha)=AE\,\text{ctg}\, \alpha$. Так как $DE = 2\, OE$, то $DE=2\, AE \text{tg} \frac{\alpha}{2}=AE \,\text{ctg}\alpha$ $\Rightarrow$ $2\,\text{tg} \frac{\alpha}{2}=\text{ctg}\alpha$. Поскольку $\text{ctg}\alpha=\frac{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$, то получим: $2\,\text{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$. Умножим обе части равенства на $2\,\text{tg} \frac{\alpha}{2}$. Получим: $4\,\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})=1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})$ $\Rightarrow$ $\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{5}$. Из формулы $\cos{\alpha}=\frac{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}{1+\text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}$ следует: $\cos{\alpha}=\frac{2}{3}$.

Ответ:

$\frac{2}{3}$.