Элементарная математика. Геометрия.

Задача 208

Внутри правильного треугольника со стороной $1$ помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Докажите, что сумма радиусов этих окружностей не меньше чем $\frac{ \sqrt 3-1}{2}$.

Решение:

1) Проводим отрезок $NM$, равный $R+r$ .

2) $R+r=NL+MK$ .

3) ${\angle NAL}=30^\circ$ т.к. $\triangle {ABC}$ — равносторонний треугольник и окружность с центром в точке $N$ является вписанной в $\angle CAB$, следовательно $\angle CAN ={\angle NAL}=30^\circ$ .

4) ${\angle MBK}=30^\circ$ т.к $\bigtriangleup {ABC}$ — равносторонний треугольник и окружность с центром в точке $M$ является вписанной в $\angle CBA$, следовательно ${\angle CBM}={\angle MBK}=30^\circ$ .

5) Т.к. $\bigtriangleup {NLA}$ — прямоугольный, то мы можем найти $AL$ , как $\frac{AL}{LN}=\text{ctg} 30^\circ$ , отсюда $AL=R\sqrt3$.

6) Т.к. $\bigtriangleup {MKB}$ — прямоугольный, то мы можем найти $KB$ , как $\frac{KB}{MK}=\text{ctg}30^\circ$ , отсюда $KB=r\sqrt3$.

7) Т.к. сам отрезок больше своей проекции, то $NM \geq LK$.

8) Запишем $AL+LK+KM = 1$ , используя неравенство предыдущего пункта имеем

$AL+NM+KB \geq1$;

$R \sqrt3+R+r+r \sqrt3\geq1$;

$R(\sqrt3+1)+r(\sqrt3+1)\geq1$;

$(R+r)({\sqrt3}+1)\geq1$;

$(R+r) \geq \frac {1} {{\sqrt3}+1}$;

$(R+r) \geq \frac {({\sqrt3}-1)} {({\sqrt3}+1)({\sqrt3}-1)}$;

$(R+r)\geq\frac{\sqrt3-1}{2}$.

Ответ:

Доказано.