ЭМГеометрия: Задача (200)

Задача 200

В треугольнике ABC даны: $\angle BAC = \alpha$ , $\angle ABC = \beta$ . Окружность с центром в $B$ проходит через точку $A$ и пересекает прямую $AC$ в точке $K$ , отличной от $A$ , а прямую $BC$ — в точках $E$ и $F$ . Найдите углы треугольника $EKF$ .

Решение:
Для того, чтобы решить данную задачу нам понадобятся некоторые свойства дуг и окружностей, которые можно прочитать в теоретическом разделе "Элементарная математика. Геометрия".

Построение чертежа к задаче показывает, что точка $C$ может располагаться как внутри круга, так и вне его.
Рассмотрим первый случай, когда точка $C$ лежит вне круга, т.е. $BC > AB$ :

1) прежде всего заметим, что $EF$ — это диаметр, поэтому $\triangle EKF$ — прямоугольный и $\angle EKF =90^\circ$ ;

2) из условия задачи легко находим третий угол $\triangle ABC: \angle BCA = 180^{\circ}-\alpha-\beta$ ;

3) известно, что если вершина угла находится вне круга, и стороны угла пересекают окружность, то величина угла измеряется полуразностью дуг, высекаемых его сторонами на окружности и расположенных внутри угла:
$\angle BCA = \frac{\smile AE-\smile KF}{2}$ $\Rightarrow$ $\smile AE - \smile KF = 2(180^{\circ}-\alpha-\beta)$ $\Rightarrow$ $\smile KF=\smile AE-360^{\circ}+2\alpha+2\beta$ ;
3) поскольку $\angle EBA$ — центральный, то очевидно $\smile AE = 180^{\circ} - \beta$ ;