Элементарная математика. Геометрия.

Задача 187

В правильном треугольнике $ABC$, сторона которого равна $a$, проведена высота $CD$. В треугольники $ACD$ и $BCD$ вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны $AB$. Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника $ABC$.

Решение:

Так как в равностороннем треугольнике высота $CD$ является медианой и биссектрисой, то $AD=DB=\frac{a}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ найдем по теореме Пифагора. $CD=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для прямоугольного треугольника нам известна формула радиуса вписанной окружности. $r=\frac{1}{2}(AD + CD - AC)=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{4}$.

По построению видно, что $DL=2r=d=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}$.

$CL=CD-LD=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}=\frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольники $MNC$ и $ABC$. Так как прямые $MN$ и $AB$ параллельны, то треугольники$MNC$ и $ABC$ подобны, и для них справедливо соотношение $\frac{MN}{AB}=\frac{CL}{CD}=\frac{MC}{AC}=\frac{1}{k}= \frac{1}{\sqrt{3}}$, где $\frac{1}{k}$ - коэффициент подобия.

Так как коэффициент подобия равен $\frac{1}{k}$, то $\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{k^2}$.

Найдем площадь треугольника $ABC$: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}a^2\sin \alpha=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, получаем, $S_{\triangle MNC}=S_{\triangle ABC}\cdotp \frac{1}{k^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdotp \frac{1}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

Ответ:

$S_{\triangle MNC}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{12}$.