Элементарная математика. Геометрия.

Задача 203

Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проходит окружность радиуса $r$, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $D$ и $C$, если $AB=c$, $AC=b$.

Решение:

Пусть радиус окружности, описанной около $\triangle{ACD}$ равен $R$, $\angle{ADB}=\varphi$. Тогда $\angle{ADC}=\pi-\varphi$. По теореме синусов для $\triangle{ABD}:\frac{c}{sin\varphi}=2r$. По теореме синусов для $\triangle{ACD}:\frac{b}{sin(\pi-\varphi)}=2R$.

Отсюда $\frac{c}{r}=2sin{\varphi}$, $\frac{b}{R}=2sin(\pi-\varphi)=2sin{\varphi}$.

Таким образом, $\frac{c}{r}=\frac{b}{R}$, значит, $R=\frac{br}{c}$.

Ответ:

$\frac{br}{c}$.