ЭМГеометрия: Задача (202)

Задача 202

На сторонах квадрата $ABCD$ взяты точки $M$ , $N$ и $K$ , где $M$ — середина $AB$ ; $N$ лежит на стороне $BC$ , причём $2BN=NC$ ; $K$ лежит на $DA$ , причём $2DK=KA$ . Найдите синус угла между прямыми $MC$ и $NK$ .

Решение:

Введём следующие обозначения: сторона квадрата равна $a$ , угол между прямыми $MC$ и $NK$ равен $\alpha$ . Рассмотрим выпуклой четырёхугольник $MNCK$ .

С одной стороны площадь можно найти по формуле: $S_{MNCK}=\frac{1}{2}MC\cdot NK\cdot \sin{\alpha}$ $(1)$ .

С другой стороны $S_{MNCK}=S_{ABCD}-S_{\triangle{MBN}}-S_{\triangle{CDK}}-S_{\triangle{MAK}}$ .

Так как сторона квадрата равна $a$ получаем, что $S_{ABCD}=a^2$ .

Найдем площади следующих треугольников: $\triangle MBN$ , $\triangle CDK$ и $\triangle MAK$ . Все эти треугольники прямоугольные, так как построены на сторонах квадрата. Получаем:

$S_{\triangle{MBN}}=\frac{1}{2}MB\cdot BN=\frac{a^2}{12},$

так как по условию $MB=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2}a,$ $BN=\frac{1}{3} BC=\frac{1}{3}a$ .

$S_{\triangle{CDK}}=\frac{1}{2}CD\cdot DK=\frac{a^2}{6}$ ,

так как по условию $DK=\frac{1}{3} AD=\frac{1}{3}a$ .

$S_{\triangle{MAK}}=\frac{1}{2}MA\cdot AK=\frac{a^2}{6}$ ,

так как по условию $MA=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2}a,$ $AK=\frac{2}{3} AD=\frac{2}{3}a$ .

С помощью этих площадей вычислим площадь четырёхугольника $MNCK$ :

$S_{MNCK}=\frac{7}{12}a^2$ .

Из формулы площади четырёхугольника $(1)$ выведем $\sin{\alpha}$ :

$\sin{\alpha}=\frac{2S_{MNCK}}{MC\cdot NK}$ $(2)$ .

Нам необходимо найти $MC, NK$ . Найдём $MC$ из $\triangle MBC$ и $NK$ из $\triangle NHK$ .

Так как треугольники прямоугольные, применяя к ним теорему Пифагора получаем:

$MC =\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}$

Проведём $NH$ . Найдём $NK$ :

$NK=\sqrt{NH^2+HK^2}=\sqrt{\frac{10}{9}a^2}$ , $NH=AB$ , $HK=BN=KD=\frac{1}{3} AD=\frac{1}{3}a$ .

Подставив всё в формулу $(2)$ , получаем:

$\sin{\alpha}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ .

Ответ:

$\sin{\alpha}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ .

2-ой способ

Введём следующие обозначения: пусть сторона квадрата равна $x$ , угол между прямыми $MC$ и $NK$ равен $\alpha$ . Для решения задачи необходимы следующие построения: через вершину $C$ квадрата $ABCD$ проведём прямую $l$ параллельную $NK$ . Продолжим $AD$ до пересечения с прямой $l$ . $AD\cap{l}=L$ . $\angle{MOK}=\angle{MCL}=\angle{\alpha}$ как соответствующие углы при параллельных прямых $NK$ , $CL$ и секущей $MC$ . С помощью теоремы косинусов найдем $\cos{\angle{MCL}}=\frac{MC^2 +CL^2 -ML^2}{2MC \cdot CL}$ .