Элементарная математика. Геометрия.

Задача 190

Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол $\alpha$, а с диагональю — угол $\beta$. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

Решение:

Т.к. в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию, то $\angle{BAD}=\angle{CDA}=\alpha$.

Рассмотрим $\triangle{ACD}$. По теореме синусов выразим радиус описанной окружности $\frac{AC}{\sin\alpha}=2R$ $\Rightarrow$ $R =\frac{AC}{2\sin\alpha}$.

Запишем формулу площади трапеции по ее диагоналям и углу между ними: $S_{tr} = \frac{1}{2}{AC}^2\sin\varphi$ (в равнобедренной трапеции диагонали равны). $\varphi = 2\beta$.

Перепишем формулу площади трапеции: $S_{tr} = \frac{1}{2}{AC}^2\sin2\beta$.

Теперь распишем формулу площади круга: $S_{kr}=\pi{R^2}=\pi(\frac{AC}{2\sin\alpha})^2$.

Составим отношение: $\displaystyle{\frac{S_{kr}}{S_{tr}}=\pi\cdotp\frac{{AC}^2}{4\sin^2\alpha}\cdotp\frac{2}{{AC}^2\sin2\beta}=\frac{\pi}{2\sin^2\alpha\sin2\beta}}$.

Ответ:

$\displaystyle{\frac{\pi}{2\sin^2\alpha\sin2\beta}}$.