Элементарная математика. Геометрия.

Задача 185

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна ${a}$.

Решение;

Из теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд (Если две хорды ${GH}$ и ${FM}$ одной окружности пересекатся в т. ${C}$, то ${HC} \cdot {CG}={MC} \cdot {CF}$) следует, что все хорды равны, а их пересечения образуют правильный треугольник $\triangle{ABC}$ со сторонами $\frac{a}{3}$ .
По свойству хорд (В окружности равные хорды равноудалены от центра), центр ${O}$ равностороннего треугольника совпадает с центром данной окружности.
Впишем в треугольник $\triangle{ABC}$ окружность (т.к. точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров в равностороннем треугольнике совпадают, значит совпадают центры описанной и вписанной окружностей).
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $r =\frac{AB}{2\sqrt{3}}$. В данной задаче: $r =\frac{a \sqrt{3}}{18}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle{OLE}$. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдём радиус описанной окружности :

$R^2= (\frac{a}{2})^2+(\frac{a \sqrt{3}}{18})^2$ $=\frac{7 a^2}{27}$

$R=\sqrt{\frac{7 a^2}{27}}$ $=\frac{a \sqrt{7}}{3 \sqrt{3}}$.

Ответ:

$R=\frac{a \sqrt{7}}{3 \sqrt{3}}$

.