Элементарная математика. Геометрия.

Задача 191

В равнобочной трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно $a$, основание $BC$ равно $b$, $AB=d$. Через вершину $B$ проведена прямая, делящая пополам диагональ $AC$ и пересекающая $AD$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $BDK$.

Решение:

Соединим точки $C$ и $K$.
На рисунке, передвигая точки, всегда можно добиться, чтобы трапеция стала равнобочной.
Пусть $E$ — точка пересечения $BK$ и $AC$. Треугольники $\bigtriangleup BCE$ и $\bigtriangleup AEK$ равные, т.к. $AE=EC$ и углы треугольников равны. Следовательно $BE=EK$ и $ABCK$ — параллелограмм, т.к. $BC \parallel AK$, а диагонали $AC$ и $BK$ делятся пополам в точке пересечения $E$.
Значит $AB=CK=d$, $AK=BC=b$, $KD=\left | a-b\right |$ (модуль необходим, поскольку неизвестно какое из оснований больше $AD$ или $BC$).
Из рисунка видно, что $\bigtriangleup KCD$ и $\bigtriangleup BKD$ имеют одно и то же основание, а также высоты их равны высоте трапеции. Следовательно площади этих треугольников равны . Т.к. $CH$ является высотой, то ее можно легко найти: $CH=\sqrt{CK^{2}-KH^{2}}=\sqrt{d^{2}-{(\frac{\left | a-b\right |}{2})}^{2}}$. Тогда площади этих треугольников будут равны $\frac{CH*KD}{2}=\frac{BT*KD}{2}$.

Ответ:

$\frac{\left | a-b \right |}{4}\sqrt{4d^{2}-(a-b)^{2}}$