Элементарная математика. Геометрия.

Задача 188

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle DAB = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BKC = \gamma$, где $K$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $\angle ACD$.

Решение:

Заметим, что $\angle ACD = \angle ABD$ и $\angle DBC = \angle CAD$, как углы, опирающиеся на одну дугу. Очевидно также $\angle ACD = \beta - \angle DBC$. Для внешнего угла треугольника $ABK$ получаем $\gamma = ( \alpha - \angle CAD ) + ( \beta - \angle DBC )$. Выразим неизвестное через известное и учтем равенство углов: $\angle DBC = \frac{\beta - \gamma + \alpha }{2}$. Подставим в $\angle ACD = \beta - \angle DBC$, получим $\frac{\beta +\gamma -\alpha }{2}$.

Ответ:

$\frac{\beta +\gamma -\alpha }{2}$.