Элементарная математика. Геометрия.

Задача 154.

В трапеции $ABCD$ основание $AB$ равно $a$, а основание $CD$ равно $b$. Найдите площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов $DAB$ и $ABC$.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле: $S=\frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции.

По свойству накрестлежащих углов $\angle BAC =\angle DCA$ , следовательно $\angle DAC =\angle DCA$, поэтому $\triangle ADC$ равнобедренный, у него две стороны равны. Отсюда $DC=AD=b$.

Аналогично $\angle DBA =\angle BDC$  — свойство накрестлежащих углов, следовательно $\angle CDB =\angle CBD$, поэтому $\triangle DCB$ равнобедренный, у него две стороны равны. Отсюда $DC=CB=b$.

$AH=\frac{a-b}{2}$, так как $DC=HK$ и $AH=KB$.

$DH -$ высота ($h$). Найдём её из $\triangle AHD$ по теореме Пифагора:

$(DH)^2=(AD)^2+(AH)^2$.

$DH=\sqrt{b^2-(\frac{a-b}{2})^2}=\frac{\sqrt{3b^2-a^2+2ab}}{2}$.

Подставив значения в формулу, получим:

$S=\frac{a+b}{4}\sqrt{3b^2-a^2+2ab}.$

Ответ:

$S=\frac{a+b}{4}\sqrt{3b^2-a^2+2ab}.$