Элементарная математика. Геометрия.

Задача 155.

В равнобедренной трапеции средняя линия равна $a$, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле: $S=\frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — высота.

Так как в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна $a$, то отсекаем прямоугольный треугольник с одной стороны, приставляем его с другой.

Заметим что одна диагональ трапеции совпала с диагональю полученного прямоугольника. Проведём ещё одну диагональ. Она будет параллельна второй диагонали трапеции.

Диагонали перпендикулярны, следовательно полученный прямоугольник это квадрат со стороной $\frac{a+b}{2}=a$

Следовательно, $h=a$.

$\frac{a+b}{2}$ — средняя линия (равна $a$ по условию).

Значит $S=a^2$.

Ответ:

$S=a^2$.