Элементарная математика. Геометрия.

Задача 153.

В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно $k$. Найдите угол при основании?

Решение:

По условию нам дано,что $AB=CD$ , $\frac{BC}{AD}=k$ , а $\angle BAD$ – искомый. Так как окружность с центром $O$ и радиуса $r$ вписана в трапецию $ABCD$ , то $AD+BC= AB+CD$. Потому что окружность может быть вписана лишь в четырехугольник, сумма противоположных сторон у которого равна (т.е. подчиняется этому правилу).
По условию, $k AD=BC$. Следовательно, $AD+k AD= 2AB$, а значит $(1+k)AD =2AB$ 
$\Rightarrow AD=\frac {2AB}{1+k}$.
В $\triangle ABB_{1}$ известно: $AB_{1}=\frac {AD-BC}{2}=\frac {AD-kAD}{2}= \frac{(1-k)AD}{2}$.
Окончательно, путем несложных преобразований получим

$\angle BAB_{1}= \arccos\frac{AB_{1}}{AB}= \arccos\frac{\frac{(1-k)AD}{2}}{AB}=$ $\arccos\frac{(1-k)\frac{2AB}{1+k}}{2AB}=\arccos\frac{(1-k) 2AB}{(1+k) 2AB}= \arccos\frac{1-k}{1+k}$.

Ответ:

$\arccos\frac{1-k}{1+k}$.