Элементарная математика. Геометрия.

Задача 150.

Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних равны $S_{1}$ и $S_{2}$.

Решение:
Обозначим площадь трапеции $MKLN$, как $S_{3}$. Очевидно, что площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}$. Равенство высот у трех полученных трапеций с площадями $S_{1}$, $S_2$, $S_3$ следует из условия и теоремы Фалеса. Обозначим длину этих высот за $h$ и пусть $BC=a$, $AD=b$. Тогда площадь всей трапеции $S = 3h(\frac{a+b}{2})= 3S_{3}$, так как $\frac{a+b}{2}$  – это длина общей средней линии трапеции $ABCD$ и трапеции $MKLN$. Значит, $S_{1}+S_{2}+S_{3}=3S_{3}$. Отсюда $S_{3}=\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})$.

Ответ:

$S_{3}=\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})$.