Элементарная математика. Геометрия.

Задача 177.

Даны три попарно касающиеся окружности радиуса $r$. Найдите площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью.

Решение:

Соединим центры окружностей. Тогда стороны $\bigtriangleup{O_1O_2O_3}$ будут равны $2r$, т.е. $\bigtriangleup{O_1O_2O_3}$ $-$ равносторонний.

Так как окружности равных радиусов и их радиусы перпендикулярны касательным, то стороны $\bigtriangleup{ABC}$ параллельны сторонам $\bigtriangleup{O_1O_2O_3}$. Отсюда следует, что $\bigtriangleup{ABC}$ также равносторонний. Отметим, что $\angle{HCO_3}=\frac{1}{2}\angle{BCA}=30^\circ$. Следовательно, $CO_3=\frac{r}{\text{tg}30^\circ}=r\sqrt{3}$. Тогда, сторона искомого треугольника  $a=r+r+r\sqrt{3}+r\sqrt{3}=2r(\sqrt{3}+1)$. Таким образом, площадь $\bigtriangleup{ABC}$ $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2r(2\sqrt{3}+3)$.

Ответ:

$S=2r(2\sqrt{3}+3)$