Элементарная математика. Геометрия.

Задача 167.

Дана окружность и точка $A$ вне её, $AB$, $AC$ $-$ касательные к окружности ($B$, $C$ $-$ точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на данной окружности.

Пусть $M$ $-$ середина меньшей дуги $BC$. Докажем, что $M$ $-$ центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Тогда $AM$ является биссектрисой $\angle{BAC}$.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\angle{MBA}=\frac{1}{2}\smile{MB}=\frac{1}{2}\smile{MC}=\frac{1}{4}\smile{BMC}=\frac{1}{2}\angle{ABC}$.

Значит, $BM$ $-$ биссектрисa треугольникa $ABC$. Следовательно, $M$ $-$ точка пересечения биссектрис треугольникa $ABC$, т. е. центр его вписанной окружности.

Видео-объяснение решения: