Элементарная математика. Геометрия.

Задача 189.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $K$, известно, что $AB=a$, $BK=b$, $AK=c$, $CD=d$. Найти $AC$.

Решение:

Есть несколько способов решения этой задачи. Однако, мы воспользуемся самым простым и коротким: подобием треугольников. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и туже дугу, имеют одинаковую градусную меру. Значит, $\angle ABD=\angle ACD, \angle BDC=\angle BAC$. Кроме того, $\angle BKA=\angle CKD$, потому что они вертикальные. Значит, треугольники $\triangle BKA$ и $\triangle CKD$ подобны. Следовательно, $\frac{BK}{CK}=\frac{b}{CK}=\frac{KA}{KD}=\frac{c}{KD}=\frac{BA}{CD}=\frac{a}{d}$. Из всего этого следует, что $CK=\frac{b\cdot d}{a}$. Значит, используя то, что $AC=CK+AK$, получим $AC=c+\frac{b\cdot d}{a}$.

Ответ:

$c+\frac{b\cdot d}{a}$.