Элементарная математика. Геометрия.

Задача 186.

Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна $a$.

Решение:

Пусть длина стороны вписанного в окружность шестиугольника равна $x$, а длина стороны описанного около окружности шестиугольника равна $y$. Нам известно, что разность периметров этих шестиугольников равна $a$, а значит $6 y-6 x=a$. В силу того, что расположение этих шестиугольников относительно друг друга не влияет на радиус, а значит и на ответ, для простоты решения, расположим шестиугольники так, чтобы стороны вписанного шестиугольника были параллельны сторонам описанного (см. рисунок).

Нам известно, что угол правильного шестиугольника равен $120^{\circ}$. Кроме того, судя по нашему рисунку искомым будет $OE=OG=r$. Следовательно, $OG\perp E_1D_1$,  как радиус, проведенный к касательной. А так как $ED\parallel E_1D_1$, то и $ED\perp OG$. Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle EGO$ и $\triangle D_1GO$. А так как любая диагональ шестиугольника, являющаяся диаметром вписанной окружности, в силу того, что все стороны правильного шестиугольника равны между собой, делит его на две равные равнобедренные трапеции, то каждая такая диагональ является биссектрисой угла шестиугольника. Значит, и любой радиус, проведенный в вершину шестиугольника из центра описанной окружности, является биссектрисой этого угла шестиугольника. То есть, $\angle OED=\angle OEF=60^{\circ}$. В силу того, что сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$, следует $\angle EOR=30^{\circ}$. А значит, $OE=ED=R$. Рассмотрим теперь шестиугольник, описанный около этой окружности (эта окружность для него является вписанной). Мы уже приняли, что радиус $OG=R$ (искомое). Мы можем сделать вывод, что $\triangle OGD_1$ — прямоугольный треугольник с углами $OGD_1=90^{\circ}, GD_1O=60^{\circ}, GOD_1=30^{\circ}$. Так как $\text{tg} {\angle GOD_1}=\text{tg} {30^{\circ}}=\frac{GD_1}{GO}$  $\Rightarrow GD_1=\frac{\sqrt 3}{3} GO=\frac{\sqrt 3}{3} R \Rightarrow E_1D_1=2 GD_1=\frac{2 \sqrt 3}{3} R \Rightarrow a=6 x_2-6 x_1=$ $6 (\frac{2 R \sqrt 3}{3} - R)=6 (\frac{2 R \sqrt 3 - 3 R}{3})=$ $2 R (2 \sqrt 3 - 3) \Rightarrow$ $R=\frac{a}{2(2\sqrt 3 - 3)}=\frac{a(2\sqrt 3 +3)}{6}.$

Ответ:

$\frac{a(3+2\sqrt 3)}{6}$