Задача 186.

Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна a.

Решение:

Пусть длина стороны вписанного в окружность шестиугольника равна x, а длина стороны описанного около окружности шестиугольника равна y. Нам известно, что разность периметров этих шестиугольников равна a, а значит 6 y-6 x=a. В силу того, что расположение этих шестиугольников относительно друг друга не влияет на радиус, а значит и на ответ, для простоты решения, расположим шестиугольники так, чтобы стороны вписанного шестиугольника были параллельны сторонам описанного (см. рисунок).

Нам известно, что угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Кроме того, судя по нашему рисунку искомым будет OE=OG=r. Следовательно, OG\perp E_1D_1,  как радиус, проведенный к касательной. А так как ED\parallel E_1D_1, то и ED\perp OG. Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника: \triangle EGO и \triangle D_1GO. А так как любая диагональ шестиугольника, являющаяся диаметром вписанной окружности, в силу того, что все стороны правильного шестиугольника равны между собой, делит его на две равные равнобедренные трапеции, то каждая такая диагональ является биссектрисой угла шестиугольника. Значит, и любой радиус, проведенный в вершину шестиугольника из центра описанной окружности, является биссектрисой этого угла шестиугольника. То есть, \angle OED=\angle OEF=60^{\circ}. В силу того, что сумма всех углов треугольника равна 180^{\circ}, следует \angle EOR=30^{\circ}. А значит, OE=ED=R. Рассмотрим теперь шестиугольник, описанный около этой окружности (эта окружность для него является вписанной). Мы уже приняли, что радиус OG=R (искомое). Мы можем сделать вывод, что \triangle OGD_1 — прямоугольный треугольник с углами OGD_1=90^{\circ}, GD_1O=60^{\circ}, GOD_1=30^{\circ}. Так как \text{tg} {\angle GOD_1}=\text{tg} {30^{\circ}}=\frac{GD_1}{GO}  \Rightarrow GD_1=\frac{\sqrt 3}{3} GO=\frac{\sqrt 3}{3} R \Rightarrow E_1D_1=2 GD_1=\frac{2 \sqrt 3}{3} R \Rightarrow a=6 x_2-6 x_1= 6 (\frac{2 R \sqrt 3}{3} - R)=6 (\frac{2 R \sqrt 3 - 3 R}{3})= 2 R (2 \sqrt 3 - 3) \Rightarrow R=\frac{a}{2(2\sqrt 3 - 3)}=\frac{a(2\sqrt 3 +3)}{6}.

Ответ:

\frac{a(3+2\sqrt 3)}{6}
Тағйироти охирин: Панҷшанбе 23 Феврал 2017, 14:02