Элементарная математика. Геометрия.

Задача № 139.

В прямоугольном треугольнике даны катеты $a$ и $b$. Найдите расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности.

Решение:

Расстояние до искомой точки назовем $x$. Его можно найти по формуле $x=r\sqrt{2}-r$. Однако, в этой формуле нам не известен радиус вписанной окружности $r$. В то же время, мы знаем длины катетов данного прямоугольного треугольника, а значит можем найти $r$ по формуле $r=\frac{1}{2}{(a+b-c)}$. Для того, чтобы узнать радиус вписанной в наш треугольник окружности, нам нужно знать длину гипотенузы. По теореме Пифагора находим, что $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Подставив найденное значение гипотенузы в формулу, получаем $r=\frac{1}{2}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}$. Тогда, для нахождения $x$ получим следующую формулу:

$x=\frac{1}{2}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2)}}{(\sqrt{2})}-\frac{1}{2}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}=\frac{1}{2}{(\sqrt{2}-1)}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}$ .

Т.е. $x=\frac{1}{2}{(\sqrt{2}-1)}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}$. Полученное выражение и есть искомое расстояние.

Покажем, что найденная нами длина отрезка является наименьшей из всех длин отрезков,заключенных между вершиной прямого угла и окружностью.

Кратчайший путь между двумя точками есть прямая. Значит, $AX+OX$, где $X$ – точка пресечения прямой $AO$ с окружностью, а $D$ – просто некоторая точка окружности. А так как $OX=OD=R$, то , $AX$.

Точка $D$ на рисунке указана для того, чтобы наглядно показать, что расстояние от прямого угла до окружности, не являющееся перпендикуляром, будет больше найденного.

Ответ:

$\frac{1}{2}{(\sqrt{2}-1)}{(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}$