Элементарная математика. Геометрия.

Задача 170.

Площадь ромба равна $S$, сумма его диагоналей — $m$. Найдите сторону ромба.

Решение:

Пусть дан ромб $ABCD$, где $AC$ и $BD$ его диагонали. Из условия следует, что $AC+BD=m$.

Так как площадь ромба равна $S$, то $S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$, отсюда $AC\cdot BD=2S$.

Как мы знаем, диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно $BO=\frac{1}{2}BD$ и $OC=\frac{1}{2}AC$.

Из прямоугольного треугольника $BOC$ по теореме Пифагора $BC^2=BO^2 + OC^2$.

Отсюда $BC^2=\frac{1}{4}BD^2 + \frac{1}{4}AC^2$, а значит $BC=\sqrt{ \frac{BD^2 + AC^2}{4}}=\sqrt{ \frac{(BD+AC)^2 - 2BD\cdot AC}{4} }$.

Подставив известные значения, получим $a=\sqrt{ \frac{m^2}{4}-S}$.

Ответ:

$\sqrt{ \frac{m^2}{4}-S}$.