ЭМГеометрия: Задача (172)

Задача 172.

В сегмент с дугой $120$ ° и высотой $h$ вписан прямоугольник $ABCD$ так, что $AB:BC=1:4$ ( $BC$ лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Из условия следует, что $AB:BC=1:4$ , значит площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD}=AB\cdot AD=x\cdot 4x=4x^2$ .

Чтобы найти $x$ проведем радиусы $OD$ , $OA$ и $OE$ окружности так, чтобы треугольники $OKD$ и $OFN$ были прямоугольными. Отсюда $OF$ высота равнобедренного треугольника $MON$ , а значит и биссектриса, следовательно $\angle{FON}=\frac{1}{2}\angle{MON}=60^{\circ}$ .

По сумме углов треугольника $OFN$ $\angle{FNO}=30^{\circ}$ , а значит $OF=\frac{1}{2}ON$ как катет лежащий против угла в $30^{\circ}$ .

Так как $ON$ и $OE$ радиусы окружности, а $OF=\frac{1}{2}ON$ и $EF=h$ как высота сегмента, то $R=2h$ .

Из равнобедренного треугольника $AOD (AO=OD=R)$ высота $OK$ , проведенная к основанию, является и медианой, следовательно $KD=\frac{1}{2}AD=2x$ .

Отсюда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $OKD$ получим $OD^2=OK^2 + KD^2$ . Подставив известные значения и решив квадратное уравнение $4h^2=(h+x)^2 +4x^2$ , получаем, что $x=\frac{3}{5}h$ .