Элементарная математика. Геометрия.

Задача 169.

Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите углы треугольника $ABC$,  если $\angle BAH = \alpha$, $\angle ABH = \beta$.

1 способ:

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABH$. В этом треугольнике нам известно, что $\angle AMB = 90^\circ$, а $\angle ABM = \beta$, тогда получим, что  $\angle BAC = 90^\circ - \beta$.

Рассмотрим треугольник $ALB$. А в этом треугольнике мы знаем, что $\angle ALB = 90^\circ$ и $\angle BAL = \alpha$, тогда $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$.

Имеем $\angle BCA = 180^\circ - ((90^\circ - \beta) + (90^\circ - \alpha))$ $= 180^\circ - (180^\circ - \beta - \alpha) = 180^\circ - 180^\circ + \beta + \alpha = \alpha + \beta$.

Ответ:

$\angle BAC = 90^\circ-\beta$,

$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$,

$\angle BCA = \alpha+\beta$.

2 способ:

Решение:

Рассмотрим треугольник $BMA$. В этом треугольнике нам известно, что $\angle BMA = 90^\circ$, а $\angle MAB = \alpha$, тогда получим, что  $\angle AMB = 90^\circ - \alpha = \angle ACB$.

Рассмотрим далее треугольник $ALB$. В этом треугольнике нам известно, что $\angle BLA = 90^\circ$, а $\angle ABL = \beta$, тогда получим, что  $\angle BAL = 90^\circ - \beta= \angle ABC$.

В результате имеем, что $\angle ACB = 180^\circ - ((90^\circ - \beta) + (90^\circ - \alpha))$ $= 180^\circ - (180^\circ - \beta - \alpha) = 180^\circ - 180^\circ + \beta + \alpha = \alpha + \beta$.

Ответ:

$\angle ABC = 90^\circ-\beta$,

$\angle ACB = 90^\circ - \alpha$,

$\angle ACB = \alpha+\beta$.

 Один из вариантов видео-объяснения решения