Элементарная математика. Геометрия.

Задача 140.

В прямоугольном треугольнике медиана равна $m$ и делит прямой угол в отношении $1:2$. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана, которая делит прямой угол в отношении $1:2$, делит этот утол так, что получаются углы в $30^\circ$ и $60^\circ$ ($30^\circ$ градусов — это одна "часть", $60^\circ$ — две "части"). Медиана равна половине гипотенузы (поскольку является радиусом описанной окружности, а гипотенуза является диаметром этой окружности) . Треугольник, образованный медианой, катетом и половиной гипотенузы, является равносторонним (угол при основании $60^\circ$, а медиана равна стороне треугольника, которая, в свою очередь, равна половине гипотенузы, следовательно , углы при основании $60^\circ$, на другой угол остается тоже $60^\circ$) . Все стороны этого треугольника $m$. Другой катет прямоугольного треугольника равен $m\sqrt{3}$ (по теореме Пифагора или через тангенс угла в $60^\circ$) . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть $\frac{1}{2}\cdot m\cdot m\sqrt{3}=\frac{m^2\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{m^2\sqrt{3}}{2}$.