Элементарная математика. Геометрия.

Задача 146.

Сторона $AD$ прямоугольника $ABCD$ в три раза больше стороны $AB$, точки $M$ и $N$ делят $AD$ на три равные части. Найдите $\angle{AMB}+\angle{ANB}+\angle{ADB}$.

Решение:

Предположим, что точка $M$ расположена между точками $A$ и $N$. Рассмотрим прямоугольник $BPQC$, равный прямоугольнику $ABCD$ и имеющий с ним единственную общую сторону $BC$. Пусть точка $T$ — точка на стороне $PQ$ такая, что $PT=2TQ$. Тогда прямоугольные треугольники $BNA$, $TDQ$ и $BTP$ равны по двум катетам, значит $BT=TD=BN$.

$\angle{BTD}=180^\circ-\angle{BTP}-\angle{QTD}=180^\circ-\angle{BTP}-(90^\circ-\angle{QDT})=90^\circ$. Следовательно $\angle{BDT}=45^\circ$ ($\triangle{BDT}$ равнобедренный),  $\angle{TDQ}=\angle{ANB}$ (из доказанного), то $\angle{AMB}+\angle{ANB}+\angle{ADB}=\angle{BDT}+\angle{TDQ}+\angle{ADB}=90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.