Элементарная математика. Геометрия.

Задача 156.

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна $S$, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определите радиус вписанной в трапецию окружности .

Решение:

В равнобедренную трапецию $ABCD$ можно вписать окружность  с радиусом $r=OK_1$  $\Leftrightarrow$ сумма ее боковых сторон $AB$ и $CD$ равна сумме ее оснований $BC$ и $AD$. $MN$ — средняя линия равнобедренной трапеции. $MN=1/2(BC+AD)=1/2(AB+CD)$. Далее проводим высоту $BK=2r$, тогда из условия следует, что сторона $AB=2BK=4r$. Тогда площадь равнобедренной трапеции равна $S=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}(AB+CD)MN=\frac{1}{2}8r2r=8r^2$. Отсюда $r=\sqrt{S/8}$ .

Ответ: $\sqrt{S/8}$.