Элементарная математика. Геометрия.

Задача 145.

Диагонали выпуклого четырехугольника равны $a$ и $b$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника.

Решение:

Площадь данного выпуклого четырехугольника будем находить по известной нам формуле: $S=\frac{d_1d_2\sin \alpha}{2}$. Из условия $d_1=a$, $d_2=b$, осталось найти $\alpha$ — угол между диагоналями.

Середины сторон любого выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. В данном случае этот параллелограмм — прямоугольник, так как его диагонали равны между собой. Диагонали данного выпуклого четырёхугольника параллельны сторонам этого прямоугольника, следовательно они взаимно перпендикулярны. Из этого следует, что угол между диагоналями равен $90^\circ$ и синус такого угла будет равен $1$. Тогда площадь будет равна: $S=\frac{ab}{2}$.

Ответ:

$\frac{ab}{2}$.