Элементарная математика. Геометрия.

Задача 209.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $A$, равным $30^\circ$, проведена биссектриса $BD$ другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $CBD$, если меньший катет равен $1$.

Решение:
Если $O_1, O_2$ центры данных окружностей, то $\angle O_1DO_2 = 90^{\circ}$. $P$ и $Q$ — точки их касания со стороной $AC$. Тогда $AC =\sqrt{3}$ $DC =\frac{\sqrt{3}}{3}$  $AD =\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $BD =\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $AB = 2$;

$DP = \frac{AD+AB+BD}{2}-AB=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$;

$DQ = \frac{DC+CB+BD}{2}-BC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$;

$DO_1 = \frac{DP}{\cos60^{\circ}}= \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$;

$DO_2 =\frac{DQ}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}$. Поскольку треугольник $O_1DO_2$ — прямоугольный, то ${O_1O_2}^2 = O_1D^2 + O_2D^2 =(\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}})^2+(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})^2=\frac{96-54\sqrt{3}}{9}$.
Следовательно ${O_1O_2} = \sqrt{\frac{96-54\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3}\sqrt{96-54\sqrt{3}}$.

Ответ:

$\frac{1}{3}\sqrt{96-54\sqrt{3}}$.