Элементарная математика. Геометрия.

Задача 192.

Найдите сумму квадратов расстояний от точки $M$,взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен $R$,а расстояние от точки $M$ до центра окружности равно $a$.

Решениe:

Соединим точку $M$ с концами хорды $CD$. Теперь соединим концы хорды $CD$ с центром окружности. Получилось два треугольника: $\triangle{MOC}$ и $\triangle{MOD}$. Обозначим $\angle{MOC}=\alpha$, следовательно, $\angle{BOD}=\alpha$ так как $\angle{COD}$ — центральный угол. Значит $\angle{MOD}=180-\alpha$.

Имеем: 1)$\triangle{MOC}$, где известны две стороны $MO=a$ и $CO=R$, и угол между ними $\angle{MOC}=\alpha$;

2)$\triangle{MOD}$, где также известны две стороны $MO=a$ и $OD=R$, и угол между ними $\angle{MOD}=180-\alpha$.

Теперь к каждому из треугольников можем применить теорему косинусов, чтобы узнать $MC$ и $MD$.

${MC}^2={a}^2+{R}^2-2aR\cos{\alpha}$;

${MD}^2={a}^2+{R}^2-2aR\cos{(180-\alpha)}$.

$\cos{(180-\alpha)}=-\cos{\alpha}$ (следует из формул приведения), $\Rightarrow$ ${MD}^2={a}^2+{R}^2+2aR\cos{\alpha}$.

Теперь сложим уравнения:

${MC}^2+{MD}^2={a}^2+{a}^2+{R}^2+{R}^2 -2aR\cos{\alpha}+2aR\cos{\alpha}$;

${MC}^2+{MD}^2=2{a}^2+2{R}^2$ — искомая сумма.

Ответ:

$2{a}^2+2{R}^2$