Элементарная математика. Геометрия.

Задача 148.

На окружности радиуса $r$ выбраны три точки таким образом,что окружность оказалась разделённой на три дуги, длины которых относятся как $3:4:5$. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.

Решение:

$MK=\frac{360^\circ \cdot 3}{3+4+5}=90^\circ$. Отсюда угол $C=180^\circ - 90^\circ =90^\circ$.

$MN=\frac{360^\circ \cdot 4}{3+4+5}=120^\circ$. Отсюда угол $A=180^\circ - 120^\circ =60^\circ$.

$NK=\frac{360^\circ \cdot 5}{3+4+5}=150^\circ$. Отсюда угол $B=180^\circ - 150^\circ =30^\circ$.

Тогда треугольник $ABC$ — прямоугольный (прямой угол $C$).

Площадь данного треугольника находится по формуле: $S=\frac{AC \cdot BC}{2}.$

Пусть $AN=x ;NB=y$.

Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, получаем: $AM=x; BK=y$.

$MC=KC=r$.

Используя теорему Пифагора и свойство катета, лежащего против угла в $30^\circ$, составим 2 уравнения:

$(x+y)^2=(x+r)^2+(y+r)^2$ и

$x+y=2(x+r)$.

Решая эти уравнения, получим, что $x=r \cdot \sqrt{3}$.

Тогда $AC=r+r \cdot \sqrt{3}=r(1+\sqrt{3})$; $BC=r+r \cdot \sqrt{3}+2r=r(3+\sqrt{3})$.

Подставляя найденные выражения в формулу площади, получаем : $S=r^2 \cdot (3+2\sqrt{3})$

Ответ:

$S=r^2 \cdot (3+2\sqrt{3})$