Элементарная математика. Геометрия.

Задача 149.

Около окружности описана равнобочная трапеция с боковой стороной $l$, одно из оснований которой равно $a$. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь равнобочной трапеции находится по формуле : $S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH.$ Так как у нас около окружности описана трапеция, то можно воспользоваться свойством : $l+l=a + BC$.

Отсюда получаем, что $BC=2l-a$.

Остается найти высоту данной трапеции $BH$.

Рассмотрим треугольник $AHB$: Он является прямоугольным, так как $BH$ — высота. Поэтому $BH$ найдем, используя теорему Пифагора: $BH=\sqrt{l^2-AH^2}$.

Катет $AH$ найдем по формуле: $AH=\frac{AD-BC}{2}=a-l$. Отсюда $BH=\sqrt{l^2-(a-l)^2}=\sqrt{l^2-a^2+2al-l^2}=\sqrt{a(2l-a)}$.

Подставляя найденные выражения в формулу площади нашей трапеции, получим: $S=\sqrt{a(2l-a)}\cdot l$.

Ответ:

$S=\sqrt{a(2l-a)}\cdot l$.