Элементарная математика. Геометрия.

Задача 210.

В трапеции $ABCD$ углы $A$ и $D$ при основании $AD$ соответственно равны $60^\circ$ и $30^\circ$. Точка $N$ лежит на основании $BC$, причем $BN : NC = 2$. Точка $M$ лежит на основании $AD$, прямая $MN$ перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите $AM : MD$.

Решение:

Пусть $NC = a$, а $BN = 2a$. Тогда $BC = 2a + a = 3a$.
Пусть $NM = h$. Проведём через точку $N$ прямые, параллельные $AB$ и $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда $AP = BN = 2a$, а $QD = NC = a$.
Очевидно, что $\angle NPM = \angle BAM = 60^\circ$, а $\angle NQM = \angle CDM = 30^\circ$. Тогда $PM = h \text{ctg}{60^{\circ}} = h \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$, $QM = h \text{ctg}{30^\circ} = h \sqrt{3}$.
По условию, площади трапеций $ABNM$ и $MNCD$ равны. То есть $S_{ABNM} = \displaystyle\frac{AM + BN}{2} MN = S_{MNCD} = \displaystyle\frac{NC + MD}{2} MN$. Из этого следует, что $BN + AM = NC + MD$, или $2a + 2a + h \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} = a + a + h \sqrt{3}$. Отсюда находим, что $h = a \sqrt{3}$.
Следовательно, $AM = AP + PM = 2a + a \sqrt{3} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} = 2a + a = 3a$
и $MD = QD + MQ = a + a \sqrt{3} \sqrt{3} = a + 3a = 4a$.
Окончательно $\displaystyle\frac{AM}{MD} = \displaystyle\frac{3}{4}$.

Ответ:

$\frac{3}{4}$.