Элементарная математика. Геометрия.

Задача 166

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $AM: MN: NB =1:2:3$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Решение:

Треугольники $MAL$, $NAK$ и $ABC$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Чтобы найти площадь $MLKN$, нужно найти площадь треугольников $MAL$, $NAK$. Для нахождения площадей будем использовать подобие треугольников. 

Пусть $x$ — одна часть стороны $AC$. Тогда $AM=x$, $AN=3x$, а $AC=6x$.
Рассмотрим треугольники $MAL$ и $ABC$. Найдем коэффициент подобия: $k=\frac{AM}{AC}=\frac{x}{6{x}}=\frac{1}{6}$. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $k^2=\frac{S_{MAL}}{S_{ABC}}$. Отсюда найдем площадь $MAL$: ${S_{MAL}}=k^2\cdotp {S_{ABC}}=\frac {1}{36}{S}.$
Рассмотрим треугольники $NAK$ и $ABC$. Найдем коэффициент подобия для этих треугольников: $k=\frac{AN}{AC}=\frac{3{x}}{6{x}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Теперь можем найти площадь $NAK$: ${S_{NAK}}=k^2\cdotp {S_{ABC}}=\frac {9}{36}{S}=\frac {1}{4}{S}$.
Чтобы найти площадь $NMLK$, нужно от площади треугольника $NAK$ отнять площадь треугольника $MAL$, которые мы нашли ранее. В результате получим: $S_{NMLK}=S_{NAK}-S_{MAL}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{36}S=\frac{9}{36}S-\frac{1}{36}S=\frac{8}{36}S=\frac{2}{9}S$.

Ответ:

$S_{NMLK}=\frac{2}{9}S$.