Элементарная математика. Геометрия.

Задача 199

Найти площадь пятиугольника, ограниченного прямыми $BC, CD, AN, AM$ и $BD,$ где $A, B$ и $D$ — три вершины квадрата $ABCD;$ $N$ — середина стороны $BC$; $M$ делит сторону $CD$ в отношении $2:1$ (считая от вершины $C$), если сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

Решение:

Площадь пятиугольника $MPOND$ будем находить как разность площадей треугольника $DBC$ и треугольников $DPM$ и $OBN$.

Найдём площадь треугольника $DBC$:
$S_{DBC} = \displaystyle\frac{1}{2}a^2.$
$DP$ является биссектрисой прямого угла $ADM$ прямоугольного треугольника $ADM$. По формуле нахождения биссектрисы прямого угла, найдём $DP$:
$DP =\displaystyle\frac{2\cdot AD\cdot DM\cdot \cos(\frac{90^{\circ}}{2})}{AD+DM} = \displaystyle\frac{2\cdot a\cdot \frac{a}{3}\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{a+\frac{a}{3}}= \displaystyle\frac{\frac{a^2\cdot \sqrt2}{3}}{\frac{4a}{3}}=\displaystyle\frac{a \sqrt2}{4}$.
$BO$ является биссектрисой прямого угла $ABN$ прямоугольного треугольника $ABN$. По формуле нахождения биссектрисы прямого угла, найдём $BO$:
$BO =\displaystyle\frac{2\cdot AB\cdot BN\cdot \cos(\frac{90^{\circ}}{2})}{AB+BN} = \displaystyle\frac{2\cdot a\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{a+\frac{a}{2}}= \displaystyle\frac{\frac{ a^2 \sqrt2}{2}}{\frac{3a}{2}}=\displaystyle\frac{a \sqrt2}{3}$.
Найдём площадь треугольника $DPM$:
$S_{DPM} = \displaystyle\frac{1}{2} DP\cdot DM\cdot \sin45^{\circ} =\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt2}{4}\cdot \frac{a}{3}\cdot \frac{\sqrt2}{2}= \displaystyle\frac{a^2}{24}$.
Найдём площадь треугольника $OBN$:
$S_{BON} = \displaystyle\frac{1}{2} BO\cdot BN\cdot \sin45^{\circ} =\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt2}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}= \displaystyle\frac{a^2}{12}$.
Найдём площадь пятиугольника $MPONC$:
$S_{MPOND} = S_{DBC} - S_{DPM} - S_{OBN} =\displaystyle\frac{a^2}{2}-\displaystyle\frac{a^2}{24}-\displaystyle\frac{a^2}{12}=\displaystyle\frac{9a^2}{24}=\displaystyle\frac{3a^2}{8}.$

Ответ:

$\displaystyle\frac{3a^2}{8}$