Элементарная математика. Геометрия.

Задача № 213

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$, а на стороне $BC$ — точка $N$, причём $AM=3MB$, а $2AN=NC$. Найдите площадь четырёхугольника $MBCN$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Решение:

Так как $S_{MBCN}=S_{ \triangle ABC} - S_{ \triangle AMN}$, то для того, чтобы найти площадь четырёхугольника $MBCN$ найдём площадь треугольника $AMN$.
По условию $AM=3MB$, тогда $\displaystyle MB=\frac{1}{3}AM$, а $AB=AM+MB$, значит, можем $AB$ представить как $\displaystyle AB=AM+\frac{1}{3}AM=\frac{4}{3}AM$.
Известно, что $2AN=NC$, то выражение $AC=AN+NC$ можем записать так $AC=AN+2AN=3AN$.
Воспользуемся для нахождения площади треугольника $ABC$ следующей формулой: $\displaystyle S_{ \triangle ABC}= \frac{1}{2}AB \cdotp AC \cdotp \sin A$.
Выше выразили стороны треугольника $ABC$ через величины сторон треугольника $AMN$, а теперь подставим их в формулу площади треугольника $ABC$: $\displaystyle S_{ \triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdotp \frac{4}{3} AM \cdotp 3AN \cdotp \sin A= 2AM \cdotp AN \cdotp \sin A$ (1).
Далее для нахождения площади треугольника $AMN$ воспользуемся аналогичной формулой: $\displaystyle S_{ \triangle AMN}= \frac{1}{2} AM \cdotp AN \cdotp \sin A$ (2).
Внимательно посмотрев на формулы (1) и (2) можем заключить, что: $\displaystyle S_{ \triangle AMN}= \frac{S_{ \triangle ABC}}{4} = \frac{S}{4}$.
Легко увидеть, что $\displaystyle S_{MBCN}= S- \frac{S}{4} = \frac{3}{4}S$.

Ответ:

$\displaystyle \frac{3}{4}S$.

Видео-объяснение решения