Элементарная математика. Геометрия.

Задача 211 

В треугольнике $ABC$  известно, что $BC=a$, $\angle A= \alpha$, $\angle B= \beta$. Найдите радиус окружности, касающейся стороны $AC$ в точке $A$ и касающейся стороны $BC$.

Решение:

Пусть $O$ — центр окружности. Тогда $OA$ — её радиус, $OA=AC {\rm tg } {\angle} ACO =AC {\rm tg }\displaystyle{\frac{1}{2}}\angle ACB$.

Используем теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\displaystyle{\frac{a}{\sin \alpha}}= \displaystyle{\frac{b}{\sin \beta}}=\displaystyle{\frac{c}{\sin (180^{\circ}{-}\alpha{-}\beta)}}$.

Из данного треугольника по теореме синусов находим, что $AC=\displaystyle{\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}$.

Поскольку $\angle ACB=180^{\circ}{-}\alpha{-}\beta$, то

$OA =\displaystyle {\frac{a\sin \beta {\rm tg }\left(90^{\circ} - \frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\sin \alpha}} = \displaystyle {\frac{a\sin \beta {\rm ctg }\frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \alpha}}$.

Ответ:

$\displaystyle {\frac{a\sin \beta {\rm ctg }\frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \alpha}}$.

Видео-объяснение решения: