Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Даны две концентрические окружности радиусов $R$ и $r$ $(R>r)$ с общим центром $O$. Третья окружность касается их обеих. Найдите тангенс угла между касательными к третьей окружности, выходящими из точки $O$.

Решение:

Для начала давайте построим рисунок. Для всех должно быть известно, что концентрические окружности – окружности с общим центром. Изобразим их, и обозначим окружность с большим радиусом как $\alpha$, окружность с меньшим радиусом – $\beta$. Таким образом, $\beta$ должна лежать внутри $\alpha$. Теперь перейдем к третьей окружности, обозначим ее $\gamma$. Из личного опыта могу сказать, что не все с первого раза могут правильно расположить данную окружность. Здесь стоит не забывать, что эта окружность должна касаться двух других окружностей, то есть иметь с каждой из них одну общую точку. Это выйдет именно тогда, когда $\gamma$ будет касаться $\alpha$ внутренним образом, а $\beta$ внешним образом.

Пусть $O_1$ – центр окружности $\gamma$. Радиус этой окружности будет равен $\frac{R-r}{2}$. Соединив $O$ и $O_1$, получим линию центров всех трех окружностей. Покажем, что линия центров касающихся окружностей проходит через точку $M$ – точку касания окружностей $\alpha$ и $\gamma$.

Любая окружность симметрична относительно каждого своего диаметра. Поскольку линия центров проходит через центры окружностей, то фигура, состоящая из этих окружностей, симметрична относительно линии центров. Если точка касания не будет лежать на линии центров, то тогда должна быть еще одна точка касания симметричная ей. Это противоречит тому, что у окружностей может быть только одна точка касания.

Так как касательные к $\gamma$ проведены из одной точки, и они составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности $O_1$, то $OM$ будет являться биссектрисой угла $O$.

Обозначим точки касания на окружности $\gamma$ как $A$ и $B$. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Соединив $A$ и $O_1$, получим $\bigtriangleup AOO_1$, который является прямоугольным.

Рассмотрим $\bigtriangleup AOO_1$: найдем $\sin\angle AOO_1$.

$\sin{\angle AOO_1}=\displaystyle\frac{AO_1}{O_1O}=\frac{\displaystyle\frac{R-r}{2}}{r+\displaystyle\frac{R-r}{2}}=\frac{R-r}{R+r}$.

Найдем $\cos \angle AOO_1$ из формулы $\cos^2{\angle}{\alpha}+\sin^2{\angle}{\alpha}=1$, $\cos{\angle}{AOO_1}=\sqrt{1-\sin^2{\angle}{ AOO_1}}=\displaystyle\sqrt{1-(\frac{R-r}{R+r})^2}=\frac{2\sqrt{Rr}}{R+r}$.

Тогда $\text{tg}\angle AOO_1=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{R-r}{R+r}}{\displaystyle\frac{2\sqrt{Rr}}{R+r}}=\frac{(R-r)}{2\sqrt{Rr}}$.

Так как линия центров является биссектрисой $\angle AOB$, применим формулу двойного угла:

$\text{tg}\angle AOB=\displaystyle\frac{2\text{tg}\angle AOO_1}{1-\text{tg}^2 \angle AOO_1}=\frac{\displaystyle\frac{2(R-r)}{2\sqrt{Rr}}}{1-\displaystyle\frac{(R-r)^2}{(2\sqrt{Rr})^2}}=\frac{(R-r) 4Rr}{\sqrt{Rr}(4Rr-(R-r)^2)}=\frac{4\sqrt{Rr}(R-r)}{6Rr-R^2-r^2}$.

Ответ:

$\text{tg}\angle AOB=\displaystyle\frac{4\sqrt{Rr}(R-r)}{6Rr-R^2-r^2}$.