Элементарная математика. Геометрия.

Задача 163

Вне окружности радиуса $R$ взята точка $A$, из которой проведены две секущие: одна из них проходит через центр, а вторая — на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими двумя секущими.

Решение:

Чтобы найти искомую площадь $S$, необходимо от площади полукруга отнять площадь сегмента, ограниченного хордой $BD$ и дугой $BD$.
Т.к. по условию $OC$ — высота треугольника $BOD$, то $\sin{\angle ODC}=\frac{OC}{OD}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$, значит $\angle ODC = 30^\circ$.
Треугольник $BOD$ — равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, следовательно $\angle ODC = \angle OBC= 30^\circ$, а поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle DOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$.
Площадь сектора с углом $120^\circ$ равна трети площади круга, поэтому площадь сегмента равна $S_{sect.DOB} - S_{\triangle DOB}=\pi \frac{R^2}{3}- \frac{R^2 \sin{120^\circ}}{2}=\pi \frac{R^2}{3}- \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.
Таким образом, $S =\pi \frac{R^2}{2} - \pi \frac{R^2}{3} + \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}= \pi \frac{R^2}{6}+ \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

$\pi \frac{R^2}{6}+ \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.