Элементарная математика. Геометрия.

Задача 206.

Сторона $AB$ квадрата $ABCD$ равна $1$ и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной $CK$, проведенной из вершины $C$ к той же окружности, равна $2$. Чему равен диаметр окружности?

Решение:

Продлим сторону квадрата $BC$, из конца которой выходит касательная $KC$. При повторном пересечении окружности с прямой $BC$ получим точку $E$.
Используем теорему о касательной и секущей. Обозначим через $x$ сторону $EB$, длина которой нам неизвестна. Тогда $EC = x +1$, поскольку $EC = EB + BC$;
${CK}^2 = EC \cdot BC$;
${2}^2 = (1 + x) \cdot 1$; 
$4 = 1 + x$.
Значит
$x = 3$.
Рассмотрим углы $ABE$ и $ABC$. Так как прямая $EB$ является продолжением стороны $BC$, а сторона $AB$ — общая сторона, то углы $ABE$ и $ABC$ являются смежными. Поскольку сумма смежных углов равна $180^\circ$ и угол $ABC$ — прямой, значит угол $ABE$ — тоже прямой.
Рассмотрим треугольник $ABE$. Поскольку угол $ABE$ — прямой, значит он опирается на диаметр. Следовательно $AD$ — диаметр.
Используя теорему Пифагора, последовательно получим:
${AE}^2 = {BE}^2 +{AB}^2$ ;
${AE}^2 = 3^2 + 1^2$ ;
${AE}^2 = 10$ ;
$AE = \sqrt{10}$.

Ответ:

$\sqrt{10}$.