Элементарная математика. Геометрия.

Задача 215.

В параллелограмме $ABCD$ известно: $AB=a$, $AD=b$ $(b>a)$, $\angle BAD = \alpha$ $( \alpha < 90^ \circ )$. На сторонах $AD$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ так, что $BKDM$ — ромб. Найдите сторону ромба.

Решение:

Рассмотрим треугольник $AKB$.

Обозначим искомую сторону ромба через $x$.

Тогда $AK=AD-KD=b - x$.

Запишем теорему косинусов для треугольника $AKB$:

$x^2=a^2+(b-x)^2-2a(b-x) \cos \alpha$.

Раскроем скобки:

$x^2=a^2+b^2+x^2-2bx-2ab \cos \alpha+2ax \cos \alpha$.

Приведём подобные:

$2x(b-a \cos \alpha)=a^2+b^2-2ab \cos \alpha$.

Получаем:

$\displaystyle{ x=\frac{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}{2(b-a \cos \alpha)}}$.

Ответ:

$\displaystyle{ \frac{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}{2(b-a \cos \alpha)}}$.