Элементарная математика. Геометрия.

Задача 212.

В треугольнике $ABC$ заданы $AB = c$, $BC = a$, $\angle B = \beta$. На стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $2AM = 3MB$. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны $AC$.

Решение:

Построим рисунок.

Выполним дополнительные построения. Проведем высоту $h$ треугольника $ABC$ к стороне $AC$. 

По теореме косинусов найдем сторону $b$ треугольника $ABC$: $b^{2} = a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta$.

Применим метод площадей для нахождения высоты $h$ треугольника $ABC$: $S=\frac{1}{2}bh$,  $S=\frac{1}{2}ac\sin\beta$.

$\frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}ac\sin\beta$;

$h = \frac{ac\sin\beta}{b}$;

Обозначим искомое расстояние за $x$. Так как треугольники $AB_{1}B$ и $AM_{1}M$ подобны по первому признаку то:

$x : h = 2 : 5$.

Отсюда найдем  $x = \frac{2h}{5}$.

Подставив все известные значения в последнюю формулу, получим:
$x=\frac{2ac\sin\beta}{5\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta}}$.

Ответ:

$x=\frac{2ac\sin\beta}{5\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta}}$.