Элементарная математика. Геометрия.

Задача 207.

В прямоугольном треугольнике меньший угол равен $\alpha$. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определите, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.

Решение:

Пусть $\angle{A} = \alpha$ — меньший угол треугольника $ABC$, $MK$ — данная прямая.
На риcунке видно, что данная прямая $MK$ делит треугольник $ABC$ на треугольник $AKM$ и четырехугольник $CBMK$. Причем, площадь треугольника равна площади четырехугольника, т.е. $\displaystyle S_{\triangle AKM} = S_{CBMK} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.
Далее рассмотрим треугольники $AKM$ и $ABC$. У них есть общий $\angle{A}$. Значит треугольники $AKM$ и $ABC$ подобны, как прямоугольные.
По условию $\displaystyle S_{\triangle AKM} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$. Вспомним, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому коэффициент подобия $k$ найдем из равенства $\displaystyle \frac{S_{\triangle AKM}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} = k^2$. Значит $\displaystyle k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Имеем $\displaystyle AC = \frac{AM}{k} = AM \cdotp \sqrt{2}$.
В треугольнике $AKM$ находим $AK$. Вспомним, что косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Имеем, $\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{AK}{AM}$. Отсюда выразим $AK$:
$AK = AM \cdotp \cos{\alpha}$.
Следовательно, $\displaystyle \frac{CK}{AK} = \frac{AC-AK}{AK} = \frac{AC}{AK} - 1 = \frac{AM \cdotp \sqrt{2}}{AM \cdotp \cos{\alpha}}-1 = \frac{\sqrt{2}}{\cos{\alpha}} - 1$.

Ответ:

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\cos{\alpha}} - 1$.