Элементарная математика. Геометрия.

Задача 205

Решение:

1) Рассмотрим $\triangle ABC$:
$AB=BC$ (по свойству сторон шестиугольника).
Следовательно:  $\triangle ABC$ — равнобедренный;
$AB=BC=R$ (по свойству окружности, описанной около шестиугольника),
$\angle ABC=120^\circ$ (по свойству углов шестиугольника).
Из этого получим, что: $\angle BAC=\angle BCA=\frac{(180^\circ-120^\circ)}{2}=30^\circ$.

2) Рассмотрим $\triangle ABH$:
$BH$ — высота, медиана и биссектриса по свойству равнобедренного треугольника.
Значит, $\angle ABH=90^\circ$, следовательно: $\triangle ABH$ — прямоугольный;
$AH=HC$ и $\angle ABH=\angle HBC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$.
$BH=\frac{1}{2} AB=\frac{R}{2}$ (по свойству катета, лежащего против угла в $30^\circ$).
По теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^{2}-BH^{2}} = \sqrt{R^{2}-\frac{R^{2}}{4}} = \frac{R\sqrt {3}}{4}$ ,
$AC=2 AH=R\frac{\sqrt {3}}{2}$.

3) Рассмотрим $\triangle ACD$:
$\angle ACD=90^\circ$ (т.к. опирается на диаметр окружности).
Тогда: $\triangle ACD$ — прямоугольный;
$S_{ACD} =\frac{p_{ACD}}{r}$, значит, $r = \frac{S_{ACD}}{p_{ACD}}$ ,
$S_{ACD}=\frac{1}{2}AC AD=\frac{1}{2} \frac{R\sqrt {3}}{2}R=\frac{R^{2}\sqrt {3}}{4}$ ,
$p_{ACD} =\frac{AC+CD+AD}{2}=\frac{\frac{R\sqrt {3}}{2}+R+2R}{2}=\frac{R(\sqrt {3}+6)}{4}$ ,
$r =\frac{\frac{R^{2}\sqrt {3}}{4}}{\frac{R(\sqrt {3}+6)}{4}}=\frac{R}{2\sqrt {3}+1}$.

Ответ:

$\frac{R}{2\sqrt {3}+1}$.