Элементарная математика. Геометрия.

Задача 159.

Прямая $ON$, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма $AKLM$, делит его на две трапеции $AKON$ и $NOML$, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма $AKLM$, если его стороны равны $a$ и $b$ ($a < b$).

Решение:

Полученные трапеции $AKNO$ и $NOML$ равны между собой. Рассмотрим две окружности, они равны, т.к. радиусы равны($GD=PI$). Из равенства радиусов следует, что $FGNO=NOQP$. На основании равенства окружностей и теоремы о касательных, проведенных из одной точки, трапеции $AKNO$ и $NOML$ равны.

Докажем, что треугольник $AKD$ прямоугольный. Пусть $KD$ и $AD$ —‍ отрезки, соединяющие центр окружности с концами боковой стороны. Тогда лучи $KD$ и $AD$ —‍ биссектрисы углов при боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна $180^\circ$,‍ сумма их половин равна $90^\circ$.‍ Следовательно, угол $KDA$ —‍ прямой.

Пусть точка $E$, точка касания меньшей стороны параллелограмма, делит эту сторону на отрезки длинами $x$ и $y$, где $(x+y=a)$. Тогда радиус окружности равен ${\sqrt{xy}}$, так как радиус, проведённый из центра $D$ окружности в точку касания окружности с боковой стороной $KD$,‍есть высота прямоугольного треугольника $AKD$,‍ опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

Ранее мы выяснили, что радиус окружности, вписанной в трапецию, равен ${\sqrt{xy}}$, из этого следует, что высота параллелограмма равна $2{\sqrt{xy}}$, а большая сторона $b=y+2{\sqrt{xy}}+x$.Тогда $\displaystyle \sin\beta=\frac{2 \sqrt{xy}}{x+y}=\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-1$, где β  $= \arcsin (\frac{b}{a}-1)$.

Ответ:

$\arcsin (\frac{b}{a}-1)$.