Элементарная математика. Геометрия.

Задача 204.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $3$, а высота $CD$, опущенная на сторону $AB$, равна $\sqrt{3}$. Основание $D$ высоты $CD$ лежит на стороне $AB$, отрезок $AD$ равен стороне $BC$. Найдите $AC$.

Решение:

Обозначим $AD$ и $BC$ через $x$. Тогда $DB=3-x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. Для нахождения стороны $BC$ будем использовать теорему Пифагора
$BC^2=DB^2+CD^2$.

После подстановки  в последнюю формулу значений всех сторон получим $x^2=(3-x)^2+(\sqrt{3})^2$. Раскроем скобки и последовательно проведем вычисления:
$x^2=9-6x+x^2+3$ ;  
$-6x=-12$ ; 
$x=2$.
Следовательно, $AD=BC=2$, а $DB=1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Найдем сторону $AC$ по теореме Пифагора $AC^2=CD^2+AD^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$. Отсюда, $AC=\sqrt{7}$.

Ответ:

$\sqrt{7}$.