Элементарная математика. Геометрия.

Задача 1.

Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM=3MC$, а на стороне $CD$ — точка $N$ так, что $2CN=ND$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AMN$.

Решение:

Для того, чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник $AMN$, воспользуемся формулой для вычисления радиуса окружности, вписанной в треугольник $r=S/p$, где $S$ — площадь треугольника, $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника, $a,b,c$ — стороны треугольника.

Для того, чтобы найти площадь треугольника $AMN$, надо вычесть из площади квадрата $ABCD$ сумму площадей треугольников $ABM, MCN, NDA$, то есть $S_{\triangle AMN} =S_{\Box ABCD}-(S_{\triangle ABM}+ S_{\triangle MCN} + S_{\triangle NDA} ).$  Для начала найдём площадь квадрата $ABCD$, она будет равна $S_{\Box ABCD} =AB\cdotp BC=a\cdotp a=a^2.$

Теперь найдём площадь каждого из трёх треугольников. Так как они прямоугольные, то площадь каждого из них будет равна $S=\frac{1}{2}ab$, где $a, b$ — катеты треугольника. У треугольника $ABM$ катетами являются $AB=a, BM$, но нам не известен катет $BM.$ По условию $BM=3MC$, а $BC+MC=a$, значит $3MC+MC=a$, $4MC=a$, $MC=\frac{a}{4} \Rightarrow BM=\frac{3a}{4}.$ Теперь можно найти и площадь этого треугольника $S_{\triangle ABM} =\frac{1}{2}\cdotp a\cdotp \frac{3a}{4}=\frac{3a^2}{8}.$

С остальными двумя треугольниками поступаем аналогичным образом. Рассмотрим треугольник $MCN$, $S_{\triangle MCN} =\frac{1}{2}MC\cdotp CN.$ Сторона $MC$ нам известна $MC=\frac{a}{4}$, а сторона $2CN=ND \Rightarrow CN=\frac{ND}{2}$, заметим, что $ND=CD-CN=a-CN.$ Приравняем $CN=\frac{a-CN}{2}, 2CN=a-CN, 3CN=a \Rightarrow CN=\frac{a}{3}.$ Так как два катета этого треугольника получены, то можно найти и площадь $S_{\triangle MCN} =\frac{1}{2} \cdotp \frac{a}{4} \cdotp \frac{a}{3}=\frac{a^2}{24}.$

Осталось найти площадь последнего треугольника $NDA.$ Сторона $AD$ известна ,а сторону $ND$ можно найти. $ND=2CN=\frac{2a}{3}.$ Найдём площадь $S_{\triangle NDA}=\frac{1}{2} \cdotp a \cdotp \frac{2a}{3}=\frac{a^2}{3}.$ Подставим в нашу формулу известные площади и найдём площадь треугольника $AMN.$ $S_{\triangle AMN}=a^2-(\frac{3a^2}{8}+\frac{a^2}{24}+\frac{a^2}{3})= a^2-(\frac{9a^2+a^2+8a^2}{24})=\frac{24a^2-18a^2}{24}=\frac{6a^2}{24}=\frac{a^2}{4}.$

Для того, чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольник $AMN$, осталось вычислить полупериметр $p$. Стороны $AM, MN, NA$ являются гипотенузами треугольников $ABM, MCN, NDA$ соответственно. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем их найти.

$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{a^2+\frac{9a^2}{16}}=\sqrt{\frac{16a^2+9a^2}{16}}=\frac{5a}{4};$

$MN=\sqrt{MC^2+CN^2}=\sqrt{\frac{a^2}{9}+\frac{a^2}{16}}=\sqrt{\frac{25a^2}{144}}=\frac{5a}{2};$

$AN=\sqrt{ND^2+AD^2}=\sqrt{a^2+\frac{4a^2}{9}}=\sqrt{\frac{13a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{13}}{3};$

$\displaystyle {p=\frac{\frac{5a}{4}+\frac{5a}{2}+\frac{a\sqrt{13}}{3}}{2}=\frac{\frac{15a+4a\sqrt{13}+5a}{12}}{2}=\frac{\frac{20a+4a\sqrt{13}}{12}}{2}=\frac{\frac{4(5a+a\sqrt{13})}{12}}{2}=\frac{a(5+\sqrt{13})}{6}}.$

$\displaystyle {r=\frac{ S_{\triangle AMN} }{p_{\triangle AMN}}=\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a(5+\sqrt{13})}{6}}=\frac{3a}{2(5+\sqrt{13})}=\frac{3a}{2(5+\sqrt{13})}\cdotp \frac{ 5-\sqrt{13}}{ 5-\sqrt{13}}=\frac{3a(5-\sqrt{13})}{2(25-13)}= }$ $\displaystyle {\frac{3a(5-\sqrt{13}}{24}=\frac{a(5-\sqrt{13})}{8}}$.

Ответ:

$\frac{a(5-\sqrt{13})}{8}$.