Элементарная математика. Геометрия.

Задача 218

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$ и $\angle BAC=\alpha$.

Решение:

Для решения данной задачи необходимы дополнительные построения. Соединим точки $B$ и $N$ и точки $M$ и $C$. Из того, что $\angle BNC$ и $\angle BMC$ опираются на диаметр окружности, следует, что они являются прямыми. Значит $BN$ и $MC$ являются высотами для $\triangle ABC$.
Рассмотрим прямоугольныe треугольники $\triangle CAM$ и $\triangle BAN$. У них $\angle A$ — общий. Из данных треугольников выразим косинус $\angle A$: $\ds{\cos{\angle A}=\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}}$.
По второму признаку подобия треугольников имеем, что $\triangle MAN \sim \triangle CAB$.

По свойству подобных треугольников $\ds{\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=k^2}$. Следовательно, $S_{AMN}=k^2\cdot S=S \cdot \cos^2{\alpha}$.

Ответ:

$S \cdot \cos^2{\alpha}$.