Элементарная математика. Геометрия.

Задача 216

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$. Центры трёх окружностей радиуса $\displaystyle \frac{c}{5}$ находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.

Решение:

Для начала нужно построить рисунок и определить как будет выглядеть наша окружность. В условии сказано что она не содержит внутри себя три меньшие окружности,а касается их только в граничных точках. После того как мы пострили рисунок, обозначим радиус нашей окружности за $R$. Тогда расстаяния от центра этой окружности до точек касания будет равно $R$. В свою очередь расстаяния от вершин треугольника до точек касания будет равно $\displaystyle \frac{c}{5}$. Значит $\displaystyle OA=OB=OC=R+\frac{c}{5}$. А сейчас нужно заметить, что $O$ — это точка, которая находится на одинаковых расстаяних от вершин треугольника, а значит что она является ещё и центром описанной окружности для этого треугольника. Тогда $OB$, $OC$, и $OA$ будут её радиусами. Теперь вспоминаем правило: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенуза у нас равна $c$, следовательно радиусы $OB$, $OC$ и $OA$ равны $\displaystyle \frac{c}{2}$ или $\displaystyle R+\frac{c}{5}=\frac{c}{2}$. А отсюда легко находится, что $\displaystyle R=\frac{c}{2}-\frac{c}{5}=\frac{5c}{10}-\frac{2c}{10}=\frac{3c}{10}$, что и нужно было найти.

Ответ:

$\displaystyle \frac{3c}{10}$.